Née en France dans une famille de musiciens, Alexandra Greffin Klein entre en 1997 au Royal College of Music de Londres dans la classe de Felix Andriewsky.
Elle y obtient ses diplômes de soliste en 1999 et 2000. Passionnée de musique de chambre, elle effectue un troisième cycle de quatuor à cordes à la Hochschule de Bâle dans la classe de Walter Levin et approfondit son apprentissage auprès de Günter Pichler (quatuor Alban Berg) et de György Kurtag qui dira d’elle :
« Alexandra est une violoniste de grand talent, ainsi qu’une magnifique chambriste, d’une grande profondeur artistique. Elle est une musicienne complète d’une extrême finesse ».
En 2002 elle rejoint le quatuor Benaïm et reçoit moins de deux ans plus tard de nombreux prix internationaux, parmi lesquels les 3ème Grand Prix du concours international de l’ARD à Munich et du concours international de quatuor à cordes de Bordeaux, ainsi que le Grand Prix du Mozarteum à Salzbourg.
Sa carrière prend alors un essor international et elle est invitée à se produire dans de nombreux festivals et scènes prestigieuses, parmi lesquels on peut citer le Festival de Salzbourg, le festival Klangspuren (Autriche), Le Festival de l’Orangerie de Sceaux, les Flâneries musicales de Reims, l’Arsenal de Metz, le Centre Georges Pompidou, l’Hôtel des Invalides et la Salle Cortot à Paris (France), la Herkulessaal de Munich, le festival de Darmstadt (Allemagne), le festival Dias da Musica à Lisbonne (Portugal), le Izumi hall d’Osaka, Tokyo Opera City (Japon), Le Tonhalle de Zurich (Suisse) le Enav Cultural Center de Tel Aviv, le Rapaport Hall de Haïfa (Israël) et le Jordan Hall de Boston (USA).
